Question

已知函数f（x）=x²+（2-n）x-2n的图象与x轴正半轴的交点为A（a_n，0），n=1，2，3，…．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令为正整数），对任意的正整数n，都有b_n+1＞b_n，求λ的取值范围．

Answer

（1）根据题意将方程f（x）=0化成一元二次方程，解出此方程的根，由条件正数的那个解即为数列{an}的通项公式；
（2）由（1）的结论，得，通过作差将bn+1＞bn变形，得2•3n＞-λ•2n，再利用变量分离可得，最终可以求出实数λ的取值范围．
【解析】
（1）设f（x）=0，x2+（2-n）x-2n=0
得 x1=-2，x2=n．
所以an=n（4分）
（2）bn=3n+λ•2n，
bn+1=3n+1+λ•2n+1（6分）
因为bn+1＞bn对于任意的正整数n恒成立，
即：3n+1+λ•2n+1＞3n+λ•2n恒成立  （8分）
2•3n＞-λ•2n，
∴（12分）
∵，
∴
∴λ＞-3（14分）