Question

已知{a_n}是等差数列，记b_n=a_na_n+1a_n+2（n为正整数），设S_n为{b_n}的前n项和，且3a₅=8a₁₂＞0，则当S_n取最大值时，n=    ．

Answer

由3a5=8a12＞0，知3a5=8（a5+7d），a5=-56d5＞0，所以d＜0．由a16=a5+11d=-d5＞0，a17=a5+12d=4d5＜0，知a1＞a2＞a3＞…＞a16＞0＞a17＞a18，b1＞b2＞b3＞…＞b14＞0＞b17＞b18，由此能够推导出Sn中S16最大．
【解析】
由bn=anan+1an+2且3a5=8a12＞0，
所以，3a5=8（a5+7d）
所以，＞0，即d＜0
因为a16=a5+11d=，
所以，a1＞a2＞…＞a16＞0＞a17
所以，b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18
因为，b15=a15a16a17＜0，b16=a16a17a18＞0
a15＜-a18
所以，b15＞-b16即b15+b16＞0
所以，S16＞S14
所以S16最大．
故答案为：16