Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC，E是 侧棱CC₁上的任意一点，在线段A₁C₁上是否存在一个定点P，使得D₁P都垂直于AE，证明你的结论．

Answer

假设在线段A1C1上存在一个定点P，使得D1P都垂直于AE，分别以方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，计算出，根据D1P都垂直于AE建立等式关系关系，解之即可．
（本题满分12分）
【解析】
假设在线段A1C1上存在一个定点P，使得D1P都
垂直于AE，如图，分别以方向为x轴，y轴，z轴
正方向，建立空间直角坐标系．
依题意可设AB=a，AA1=b，EC=t，D1（0，0，b），P（x，a-x，b），
A（a，0，0），E（0，a，t）（4分）
则有（6分）
由（8分）
求得即为A1C1中点                
∴假设成立，即线段A1C1中点P，使得D1P都垂直于AE．          （12分）