Question

已知椭圆方程为，长轴两端点为A、B，短轴上端点为C．
（1）若椭圆焦点坐标为，点M在椭圆上运动，当△ABM的最大面积为3时，求其椭圆方程；
（2）对于（1）中的椭圆方程，作以C为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形CDE，设直线CE的斜率为k（k＜0），试求k满足的关系等式；
（3）过C任作垂直于，点P、Q在椭圆上，试问在y轴上是否存在一点T使得直线TP的斜率与TQ的斜率之积为定值，如果存在，找出点T的坐标和定值，如果不存在，说明理由．

Answer

（1）由焦点坐标可求c，利用△ABM的最大面积为3，可得a，b的关系，再借助于几何量间的关系，可求椭圆方程；
（2）根据C是直角顶点，假设CE所在的直线方程与椭圆方程联立求得CE，CD的长，利用|CE|=|CD|，可求关系式；
（3）先假设T（0，-b），P（x1，y1），Q（x2，y2），利用垂直于，点P、Q在椭圆上，可表示出直线TP的斜率与TQ的斜率之积，从而得解．
【解析】
（1）由已知：，，联立方程组求得：a=3，b=1，所求方程为：（4分）
（2）依题意设CE所在的直线方程为y=kx+1（k＜0），代入椭圆方程并整理得：（1+9k2）x2+18kx=0，则，同理（8分）
由|CE|=|CD|得k3+9k2+9k+1=0，即（k+1）（k2+8k+1）=0（11分）
（3）由题意得：T（0，-b），又知，
设P（x1，y1），Q（x2，y2）x1x2=-（y1-b）（y2-b）（13分）
又由得，同理，
所以．
从而得所以（15分）
而（为定值）．对比上式可知：
选取T（0，-b），则得直线TP的斜率与TQ的斜率之积为（18分）