Question

a₁，a₂，a₃，a₄是各项不为零的等差数列且公差d≠0，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，则的值为    ．

Answer

先利用等差数列通项公式分别表示出a2，a3，a4，进而分别看a1、a2、a3成等比数列，a1、a2、a4成等比数列和a1、a3、a4成等比数列时，利用等比中项的性质，得a22=a1•a3和a22=a1•a4和a32=a1•a4，进而求得a1和d的关系．
【解析】
a2=a1+d  a3=a1+2d  a4=a1+3d
若a1、a2、a3成等比数列，则a22=a1•a3
（a1+d）2=a1（a1+2d）
a12+2a1d+d2=a12+2a1d
d2=0
d=0 与条件d≠0矛盾
若a1、a2、a4成等比数列，则a22=a1•a4
（a1+d）2=a1（a1+3d）
a12+2a1d+d2=a12+3a1d
d2=a1d
∵d≠0
∴d=a1
则=1
若a1、a3、a4成等比数列，则a32=a1•a4
（a1+2d）2=a1（a1+3d）
a12+4a1d+4d2=a12+3a1d
4d2=-a1d
∵d≠0
∴4d=-a1
则=-4
若a2、a3、a4成等比数列，则a32=a2•a4
（a1+2d）2=（a1+d）（a1+3d）
a12+4a1d+4d2=a12+4a1d+3d2
d2=0
d=0 与条件d≠0矛盾
综上所述：=1 或=-4
故答案为1或-4