Question

已知，边AB上一点P₁，这里P₁异于A、B．由P₁引边OB的垂线P₁Q₁，Q₁是垂足，再由Q₁引边OA的垂线Q₁R₁，R₁是垂足．又由R₁引边AB的垂线R₁P₂，P₂是垂足．同样的操作连续进行，得到点 P_n、Q_n、R_n（n∈N^*）．设 ＜t_n＜1），如图．
（1）求的值；
（2）某同学对上述已知条件的研究发现如下结论：，问该同学这个结论是否正确？并说明理由；
（3）用t₁和n表示t_n．

Answer

（1）欲求的值，先求其平方．利用三角形OAB中的边角条件即可求得 ，从而得出；
（2）该同学的结论正确．由（1）与已知，得三角形OAB的三边长，由余弦定理结合向量条件即可证得．
（3）结合图形，可得 变形为：得到{tn-}构成一个等比数列，公比为-，利用等比数列的通项公式即可表示出tn
【解析】
（1）因为-----（1分）
则 ；所以，--------------（4分）
（2）该同学的结论正确．----------------------------（5分）
由（1）与已知，得，
由余弦定理  -----------------（6分）
又∵，则
则，所以，---------（8分）
（3）结合图形，可得 ---------------------（14分）
则------------------------（16分）
∴{tn-}构成一个等比数列，公比为-，
故--------------（18分）