Question

已知a₁=3且a_n=S_n-1+2ⁿ，则a_n=    ；S_n=    ．

Answer

由a1=3，an=Sn-1+2n，知an-an-1=（Sn-1+2n）-（Sn-2+2n-1）=an-1+2n-1，所以an=2an-1+2n-1，an+1=2（an+2n）=2（2an-1+2n-1）+2n=22an-1+2×2n=22（2an-2+2n-2）+2×2n=23an-2+3×2n=…=2n•a1+n×2n=（n+3）×2n，由此能求出an和Sn．
【解析】
∵a1=3，an=Sn-1+2n，
∴an-an-1=（Sn-1+2n）-（Sn-2+2n-1）
=an-1+2n-1，
即an=2an-1+2n-1，
an+1=2（an+2n）=2（2an-1+2n-1）+2n
=22an-1+2×2n
=22（2an-2+2n-2）+2×2n
=23an-2+3×2n
=…
=2n•a1+n×2n
=（n+3）×2n，
∴an=（n+2）×2n-1．
∵an=Sn-1+2n，
∴Sn=an+1-2n+1
=（n+3）×2n-2n+1
=（n+1）×2n．
故答案为：（n+2）×2n-1，（n+1）×2n．