Question

（理）如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ABC=90°，AB=5，BC=2，AD=8，异面直线AC₁与A₁D互相垂直．
（1）求直棱柱棱AA₁的长；
（2）若点M在线段A₁D上，AM⊥A₁D，求直线AD与平面AMC₁所成的角的大小．

Answer

（1）根据题意建立空间直角坐标系写出点的坐标，即可得到有关向量的坐标，再利用异面直线AC1与A1D互相垂直，，进而得到答案．
（2）由（1）可得=0，即A1D⊥AC1，再结合题意可得：A1D⊥平面AC1M，可得∠MAD即为直线AD与平面AMC1所成的角，再利用题中的条件与解三角形的有关知识可得答案．
【解析】
（1）因为在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD=90°，
所以AD，AB，AA1三条直线两两垂直，
所以以A为坐标原点以AB、AD、AA1所在直线分别x轴、y轴、Z轴建立直角坐标系，设棱AA1的长为a，（a＞0）
则有A （0，0，0），B （5，0，0），C（5，2，0），D（0，8，0），A1（0，0，a），B1（5，0，a），C1（5，2，a），D1（0，8，a），
∴，，（3分）
又因为异面直线AC1与A1D互相垂直，
所以，（6分）
所以可得：a=4，
故棱AA1的长为4．（8分）
（2）由（1）知=（0，8，-4），=（5，2，4），
所以=0，即A1D⊥AC1，
又因为AM⊥A1D，AM∩AC1=A，
所以A1D⊥平面AC1M，
所以∠MAD即为直线AD与平面AMC1所成的角．（10分）
因为AA1=4，AD=8，AM⊥A1D，
所以AM=，
所以cos∠MAD=（12分）
所以直线AD与平面AMC1所成的角的大小是arccos．（13分）