Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=50n-n²（n∈N^*）
（1）求证{a_n}是等差数列．
（2）设b_n=|a_n|，求数列{b_n}的前n项和T_n
（3）求（）的值．

Answer

（1）a1=S1=49，因此，当n≥2时有an=Sn-Sn-1=50n-n2-50（n-1）+（n-1）2=51-2n，所以an+1-an=-2，由此能够证明{an}是等差数列．
（2）若an=51-2n＞0，则n＜25.5．设Tn=b1+b2+…+bn，当n≤25时，则bn=an，此时，Tn=Sn=50n-n2；当n≥26时，bn=-an，
而b26+b27+…+bn=-（a26+a27+…+an）=-（Sn-S25）．由此能求出数列{bn}的前n项和Tn．
（3）（）=（）=-1．
【解析】
（1）a1=S1=49，
因此，当n≥2时有an=Sn-Sn-1=50n-n2-50（n-1）+（n-1）2=51-2n
所以an=51-2n（n∈N*）（3分）
∴an+1-an=-2，
故{an}是首项为49，公差为-2的等差数列（6分）
（2）若an=51-2n＞0，
则n＜25.5（7分）
设Tn=b1+b2+…+bn，
当n≤25时，
则bn=an，
此时，Tn=Sn=50n-n2；    （9分）
当n≥26时，bn=-an，
而b26+b27+…+bn=-（a26+a27+…+an）=-（Sn-S25）
所以 Tn=S25+S25-Sn=2S25-Sn=1250-（50n-n2）=n2-50n+1250
综合所得 （14分）
（3）（）
=（）
=-1  （16分）