Question

已知三棱锥P-ABC的棱长都是2，点D是棱AP上不同于P的点．
（1）试用反证法证明直线BD与直线CP是异面直线．
（2）求三棱锥P-ABC的体积V_P-ABC．

Answer

（1）假设BD与CP不是异面直线，即BD与CP都在平面α上，从而可得出点A、B、C、P都在平面α上，这与P-ABC是三棱锥矛盾，故假设不成立，得证；
（2）求三棱锥P-ABC的体积VP-ABC．选△ABC为底，故关键是求出底面上的高，为此利用底面三角形是正三角形，可求．
【解析】
（1）证明：（反证法）假设BD与CP不是异面直线．（2分）
设BD与CP都在平面α上．∵P∈α，D∈α，∴PD⊊α．又A∈PD，∴A∈α．
∴点A、B、C、P都在平面α上，这与P、A、B、C不共面（P-ABC是三棱锥）矛盾，于是，假设不成立．（5分）
所以直线BD与CP是异面直线．（6分）
（2）设锥顶点P在底面的射影为O．∵P-ABC的棱长都是2，∴△ABC是正三角形．
∴，
即O为底面三角形的中心，因此P-ABC为正三棱锥．连接BO并延长交AC于E，则BE⊥AC．
∵AB=BC=AC=PB=2，∴． （8分）
∴，进一步可得．   （10分）
∴
=
=．                                 （12分）