Question

若数列{a_n}满足a_n+2+pa_n+1+qa_n=0（其中p²+q²≠0，且p、q为常数）对任意n∈N^*都成立，则我们把数列{a_n}称为“L型数列”．
（1）试问等差数列{a_n}、等比数列{b_n}（公比为r）是否为L型数列？若是，写出对应p、q的值；若不是，说明理由．
（2）已知L型数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，a_n+1-4a_n+4a_n-1=0（n≥2，n∈N^*），证明：数列{a_n+1-2a_n}是等比数列，并进一步求出{a_n}的通项公式a_n．

Answer

（1）等差数列{an}、等比数列{bn}（n∈N*）都是L型数列，然后分别找出符合题意的p和q即可．
（2）将an+1-4an+4an-1=0（n≥2，n∈N*）化成an+1-2an=2an-4an-1=2（an-2an-1），根据等比数列的定义进行判定即可，然后求出新数列的通项，在等式两侧同除以2n，可得是以为首项，公差为的等差数列，求出通项即可求出an．
【解析】
（1）答：等差数列{an}、等比数列{bn}（n∈N*）都是L型数列．
理由 当数列{an}（n∈N*）是等差数列时，有an+2-an+1=an+1-an，（1分）
即an+2-2an+1+an=0，且相应的p=-2，q=1．                         （3分）
所以等差数列{an}（n∈N*）是L型数列．  （4分）
同样，当数列{bn}（n∈N*）是等比数列时，有bn+2=rbn+1（r为公比），（5分）
即bn+2-rbn+1+0•bn=0，且相应的p=-r，q=0．                     （7分）
所以等比数列{bn}（n∈N*）是L型数列．     （8分）
证明 （2）∵an+1-4an+4an-1=0（n≥2，n∈N*），
∴an+1-2an=2an-4an-1
=2（an-2an-1）． （10分）
又a2-2a1=3-2=1（≠0），
∴数列{an+1-2an}（n∈N*）是以（a2-2a1）为首项，公比为2的等比数列． （12分）
于是，an-2an-1=（a2-2a1）•2n-2，即an-2an-1=2n-2（n≥2，n∈N*）．
∴．因此，是以为首项，公差为的等差数列．（14分）
∴，
所以数列{an}的通项公式． （16分）