Question

已知函数f（x）=+，a≠0且a≠1．
（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调增区间；
（2）已知当x＞0时，函数在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
（3）记（2）中的函数图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）f（x）=+=，故需对a分①当a＜0②当0＜a＜1③当a＞1三种情况讨论函数的单调增区间
（2）由题设及（1）中③知=，且a＞1，可求a的值，从而可得函数解析式
（3）假设存在经过原点的直线l为曲线C的对称轴，根据题意故可设l：y=kx（k≠0）．
设P′（p′，q′）与P（p，q）关于直线l对称，且p≠p′，q≠q′，则P′在曲线C上，得=，=，且q=+，q′=+，整理可求k
【解析】
（1）①当a＜0时，函数f（x）的单调增区间为（，0），（0，）；
②当0＜a＜1时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，0），（0，+∞）；
③当a＞1时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，），（，+∞）．
（2）由题设及（1）中③知=，且a＞1，解得a=3，因此函数解析式为f（x）=+（ x≠0）．
（3）假设存在经过原点的直线l为曲线C的对称轴，显然x，y轴不是曲线C的对称轴，故可设l：y=kx（k≠0）．
设P（p，q）为曲线C上的任意一点，P′（p′，q′）与P（p，q）关于直线l对称，且p≠p′，q≠q′，
则P′也在曲线C上，由此得=，=，
且q=+，q′=+，整理得k=，解得k=或k=．
所以存在经过原点的直线y=及y=为曲线C的对称轴．