Question

设关于x的方程sinx+cosx+a=0在（0，2π）内有相异二解α、β．
（1）求α的取值范围．（2）求tan（α+β）的值．

Answer

（Ⅰ）通过两角和公式对方程进行化简，因有相异二解推断出sin（x+）不等于sin和±1，进而推断|-|＜1，求出a的取值范围．
（Ⅱ）把方程的相异解α、β分别代入方程，得到的两个方程相减，求得tan的值，再用二倍角公式求出tan（α+β）的值．
【解析】
（Ⅰ）∵sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+），
∴方程化为sin（x+）=-．
∵方程sinx+cosx+a=0在（0，2π）内有相异二解，
∴sin（x+）≠sin=．
又sin（x+）≠±1（∵当等于和±1时仅有一解），
∴|-|＜1．且-≠．即|a|＜2且a≠-．
∴a的取值范围是（-2，-）∪（-，2）．
（Ⅱ）∵α、β是方程的相异解，
∴sinα+cosα+a=0①．
sinβ+cosβ+a=0②．
①-②得（sinα-sinβ）+（cosα-cosβ）=0．
∴2sincos-2sinsin=0，又sin≠0，
∴tan=．
∴tan（α+β）==．