Question

已知函数（a＞0），且f′（1）=0．
（Ⅰ）试用含有a的式子表示b，并求f（x）的极值；
（Ⅱ）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果在函数图象上存在点M（x，y）（其中x∈（x₁，x₂）），使得点M处的切线l∥AB，则称AB存在“伴随切线”．特别地，当时，又称AB存在“中值伴随切线”．试问：在函数f（x）的图象上是否存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”，若存在，求出A、B的坐标，若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）求出f′（x）根据且f'（1）=0求出a和b的关系即可，根据自变量的取值范围及a＞0，令导函数大于0得到函数的增区间，令导函数小于0得到函数的减区间，根据增减性得到函数的极值即可；
（Ⅱ）不存在，设两点A（x1，y1），B（x2，y2），代入到函数关系式中，然后求出直线AB的斜率，并求出在M的切线的斜率，两者相等得到等式，化简后令其左边设为函数g（t），求出函数g（t）的最小值，这表明在函数f（x）上不存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”．
【解析】
（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），∵，f'（1）=1-a+b=0，∴b=a-1．
代入，得．
当f'（x）＞0时，，由x＞0，得（ax+1）（x-1）＜0，
又a＞0，∴0＜x＜1，即f（x）在（0，1）上单调递增；
当f'（x）＜0时，，由x＞0，得（ax+1）（x-1）＞0，
又a＞0，∴x＞1，即f（x）在（1，+∞）上单调递减．
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
所以，当x=1时，f（x）的极大值为
（Ⅱ）在函数f（x）的图象上不存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”．
假设存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设0＜x1＜x2，则，，==，
在函数图象处的切线斜率，
由=
化简得：，=．
令，则t＞1，上式化为：=，即，
若令，，
由t≥1，g'（t）≥0，∴g（t）在[1，+∞）在上单调递增，g（t）＞g（1）=2．
这表明在（1，+∞）内不存在t，使得=2．
综上所述，在函数f（x）上不存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”．