Question

如图，在椭圆C：中，F₁，F₂分别为椭圆C的左右两个焦点，P为椭圆上且在第一象限内的点，△PF₁F₂的重心为G，内心为I．
（1）求证：IG∥F₁F₂；
（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F₂与椭圆C交于M，N两点，若AM，AN的斜率k₁，k₂满足，求直线l的方程．

Answer

（1）欲证IG∥F1F2，因为F1，F2在x轴上，只需证明I，G的纵坐标相等即可，利用重心的坐标公式求出G点的纵坐标，再借助三角形内切圆的性质，利用面积相等求出I的纵坐标，比较大小即可．
（2）设出直线l的方程，代入椭圆方程，由韦达定理求出x1+x2，x1x2．代入k1+k2中，化简即可求出k的值，得到直线l的方程．
【解析】
（1）设P点坐标为（x，y）（y＞0），而G为△PF1F2
的重心，故而I为△PF1F2的内心．
设△PF1F2的内切圆半径为r
于是，
又a=2，c=1，y＞0
则，从而I点纵坐标为
从而IG∥F1F2•
（2）若直线l斜率不存在，显然k1+k2=0不合题意．
若直线l的斜率存在，过F2（1，O）的设直线方程为y=k（x-1），直线和椭圆交于M（x1，y1），N（x2，y2）将y=k（x-1）代入3x2+4y2=12中得到：（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0
由韦达定理可知：
又=
而
从而
即k=2
故所求直线MN方程为：y=2（x-1）．