Question

已知，g（x）=x³-3a²x-2a（a≥1），且它们定义域均为[0，1]
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）判断函数g（x）的单调性并予以证明；
（3）若对任意t∈[0，1]，总有g（x）≤f（t）在x∈[0，1]时恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）先求导函数，确定函数在定义域上为减函数，从而可知x=1时，函数f（x）有最小值；
（2）先求导函数，根据函数定义域为[0，1]，a≥1，可得函数g（x）的单调减区间；
（3）由（1）知，函数f（x）的最小值为-4，所以问题等价为 x3-3a2x-2a≤-4（a≥1），在x∈[0，1]时恒成立  
由（2）知，x=0时，函数g（x）取得最大值，从而-2a≤-4，故得解．
【解析】
（1）由题意，
令得x=-3或x=1
∵函数定义域为[0，1]
∴x=1时，函数f（x）的最小值-4；
（2）g′（x）=3x2-3a2=3（x+a）（x-a）
∵函数定义域为[0，1]，a≥1
∴函数g（x）的单调减区间是[0，1]，
（3）由（1）知，函数f（x）的最小值为-4，所以问题等价为 x3-3a2x-2a≤-4（a≥1），在x∈[0，1]时恒成立  
由（2）知，x=0时，函数g（x）取得最大值，所以-2a≤-4，故a≥2．