Question

已知点M（0，-1），直线l：y=mx+1与曲线C：ax²+y²=2（m，a∈R）交于A、B两点．
（1）当m=0时，有，求曲线C的方程；
（2）当实数a为何值时，对任意m∈R，都有成立．
（3）设动点P满足，当a=-2，m变化时，求|OP|的取值范围．

Answer

（1）直线方程为y=1，代入曲线C：ax2+y2=2求得A，B的坐标，利用可求曲线的方程；
（2）将直线l：y=mx+1与曲线C：ax2+y2=2联立，化简得（a+m2）x2+2mx-1=0，假设点A，B的坐标，利用可求；
（3）将条件转化为坐标的形式，从而可表达为关于m的函数，进而求m变化时，|OP|的取值范围
【解析】
（1）由题意，直线方程为y=1，代入曲线C：ax2+y2=2可得，
∵，∴，∴a=3
∴曲线C的方程为3x2+y2=2
（2）将直线l：y=mx+1与曲线C：ax2+y2=2联立，化简得（a+m2）x2+2mx-1=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=-2
∴可有3a-1=0，∴
（3）由（2）知
设P（x，y），则（x，y+1）=（x1+x2，y1+y2）
∴
∴|OP|=
令m2-2=t（t≥-2），∴|OP|=