Question

设函数y=f（x）的定义域为R，对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时f（x）＜0且f（3）=-4．
（1）求证：y=f（x）为奇函数；
（2）在区间[-9，9]上，求y=f（x）的最值．

Answer

（1）判断f（x）奇偶性，即找出f（-x）与f（x）之间的关系，∴令y=-x，有f（0）=f（x）+f（-x），故问题转化为求f（0）即可，可对x、y都赋值为0；
（2）先依据函数单调性的定义判断函数的单调性，充分利用条件当x＞0时，有f（x）＜0与f（x+y）=f（x）+f（y），即可判定单调性，最后利用函数的单调性求出在区间[-9，9]上，y=f（x）的最值即可．
【解析】
（1）证明：令x=y=0，得f（0）=0
令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函数…（6分）
（2）【解析】
对任取实数x1、x2∈[-9，9]且x1＜x2，这时，x2-x1＞0，
f（x1）-f（x2）=f[（x1-x2）+x2]-f（x2）=f（x1-x2）+f（x2）-f（x1）=-f（x2-x1）
因为x＞0时f（x）＜0，∴f（x1）-f（x2）＞0
∴f（x）在[-9，9]上是减函数
故f（x）的最大值为f（-9），最小值为f（9）
而f（9）=f（3+3+3）=3f（3）=-12，f（-9）=-f（9）=12
∴f（x）在区间[-9，9]上的最大值为12，最小值为-12  …（12分）