Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面△ABC中，CA=CB=a，∠BCA=90°，AA₁=2a，M，N分别是A₁B₁、AA₁的中点．
（I）求BN的长；
（II）求BA₁，CB₁夹角的余弦值．

Answer

（I）以C为原点建立空间直角坐标系，B（0，a，0），N（a，0，a），由此能求出．
（II）A1（a，0，2a），C（0，0，0），B1（0，a，2a），=（a，-a，2a），=（0，a，2a），再由cos＜＞，能求出BA1，CB1夹角的余弦值．
【解析】
以C为原点建立空间直角坐标系
（I）B（0，a，0），N（a，0，a），
∴．…（4分）
（II）A1（a，0，2a），C（0，0，0），B1（0，a，2a），
∴=（a，-a，2a），=（0，a，2a），
∴•=a×0+（-a）×a+2a×2a=3a2，…（8分）
||=，
||=，
∴cos＜＞=．…（14分）