Question

如图，P是正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁上底面的中心，E是AB的中点，．
（1）求证：A₁E∥平面PBC；
（2）求直线PA与平面PBC所成角的大小．

Answer

（1）建立空间直角坐标系，分别写出直线所在的向量与平面的法向量，根据向量之间的运算得到两个向量的数量积为0，所以可得直线与平面平行．
（2）求出直线所在的向量与平面的法向量的夹角，再根据线面角与向量之间的夹角关系，得到线面角．
【解析】
为了计算方便不妨设AA1=2，则AB=，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：

所以A1（，0，1），E（，，0），A（，0，0），B（，，0），C（0，，0），P（，，1）．
所以，=（，，-1），，．
（1）设平面PBC的法向量为：，则有，即，
不妨取z=1，则，
所以，
所以，
又因为A1E⊄平面PBC，
所以A1E∥平面PBC．
（2）由（1）可得平面PBC的法向量为：，
所以|cos|=．
设直线PA与平面PBC所成角θ，
则sinθ=|cos|=，
所以直线PA与平面PBC所成角的大小为arcsin．