Question

已知函数f（x）=3x²+1，g（x）=2x，数列{a_n}满足对于一切n∈N^*有a_n＞0，且．数列{b_n}满足，设．
（1）求证：数列{a_n}为等比数列，并指出公比；
（2）若k+l=9，求数列{b_n}的通项公式．
（3）若k+l=M（M为常数），求数列{a_n}从第几项起，后面的项都满足a_n＞1．

Answer

（1）通过计算f（an+1）-f（an）=g（an+1+），结合已知条件可得：6an=2an+1，从而得出数列{an}为公比为3的等比数列．
（2）由对数的运算性质，得，所以数列是以为首项，公差等于loga3的等差数列；再利用等差数列的通项与性质，即可算出数列{bn}的通项公式．
（3）由k+l=M得出初始值：，由等差数列的通项公式得出，假设第m项后有an＞1且第m项后，得出m满足，此时可得当m=M故数列{an}从M+1项起满足an＞1．
【解析】
（1）∵
∴
故数列{an}为等比数列，公比为3．
（2）
所以数列是以为首项，公差为loga3的等差数列．
又
又，且k+l=9
∵
∴
（3）∵k+l=M
∴
假设第m项后有an＞1
∵
即第m项后，
于是原命题等价于
∵m，M∈N*⇒m=M故数列{an}从M+1项起满足an＞1．