Question

如图，直二面角E-AB-C中，四边形ABEF是矩形，AB=2，AF=，△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点P是线段BF上的一个动点．
（1）若PB=PF，求异面直线PC与AB所成的角的余弦值；
（2）若二面角P-AC-B的大小为30，求证：FB⊥平面PAC．

Answer

（1）分别取BE、AB的中点M、N，连接PM、MC，PN、NC，则PM=1，MB=，BC=，可得MC=，又因为PN=MB=，NC=，可得PC=．进而利用余弦定理求出答案．
（2）连接AP，根据题意可得：∠BAP即为所求二面角的平面角，即∠BAP=30°，进而根据三角形的有关知识可得BF⊥AP，再结合线面垂直可得BF⊥AC，进而根据线面垂直的判定定理证明线面垂直．
【解析】
（1）分别取BE、AB的中点M、N，
连接PM、MC，PN、NC，则PM=1，MB=，BC=，
∴MC=，而PN=MB=，NC=，
∴PC=，…（4分）
∴在△MPC中，由余弦定理可得：
故所求PC与AB所成角的余弦值为…（6分）
（2）连接AP，
∵二面角E-AB-C是直二面角，且AC⊥AB
∴∠BAP即为所求二面角的平面角，即∠BAP=30°…（8分）
在Rt△BAF中，tan∠ABF=，
∴∠ABF=60°，
故BF⊥AP，…（10分）
又∵AC⊥面BF，
∴BF⊥AC，
又因为AP∩AC=A，并且AP⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，
所以BF⊥平面PAC…（12分）