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已知数列{an}的前n项和为{Sn},又有数列{bn}满足关系b1=a1,对n∈...

已知数列{an}的前n项和为{Sn},又有数列{bn}满足关系b1=a1,对n∈N*,有an+Sn=n,bn+1=an+1-an
(1)求证:{bn}是等比数列,并写出它的通项公式;
(2)是否存在常数c,使得数列{Sn+cn+1}为等比数列?若存在,求出c的值;若不存在,说明理由.
(1)由an+Sn=n,可求得2an+1=an+1,在an+Sn=n中令n=1可求得a1,即b1,由,可证明:{bn}是等比数列,从而可得其通项公式; (2)由可求得:an+bn=an+an-an-1=2an-an-1,2an+1=an+1,可求得,可求得,问题即可解决. 【解析】 (1)由,又(3分) ∴, ∴数列{bn}为等比数列,且(6分) (2)an+bn=an+an-an-1=2an-an-1,∴(8分) ∴(10分) 依题意,存在c=-1,使得数列{Sn+cn+1}为等比数列.   (12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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