Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx．
（1）若函数y=f（x）在x=2处有极值-6，求y=f（x）的单调递减区间；
（2）若y=f（x）的导数f′（x）对x∈[-1，1]都有f′（x）≤2，求的范围．

Answer

求出f′（x），（1）根据函数在x=2处有极值-6得到f′（2）等于0且f（2）等于-6，联立即可求出a与b的值代入到导函数中得到其解析式，令导函数小于0得到关于x的不等式，求出解集即为函数的递减区间；
（2）因为导函数x∈[-1，1]都有f′（x）≤2得到f′（1）和f′（-1）都小于等于2，联立构成不等式组，在平面直角坐标系中画出组成的区域如图阴影部分，设z等于，则z表示阴影部分中任意一点（a，b）与（1，0）连线的斜率，根据图形可得出z的取值范围．
【解析】
（1）f′（x）=3x2+2ax+b
依题意有即解得
∴f′（x）=3x2-5x-2
由f′（x）＜0，即（3x+1）（x-2）＜0，解得
∴y=f（x）的单调递减区间是：；

（2）由得
不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：
由得∴Q点的坐标为（0，-1）．
设，则z表示平面区域内的点（a，b）与点P（1，0）连线斜率．
∵KPQ=1，由图可知z≥1或z≤-2，
即