Question

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4．E是PD的中点．
（Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D所成平面角的余弦值；
（Ⅲ）求B点到平面EAC的距离．

Answer

（Ⅰ）要证平面PDC⊥平面PAD，只需要证明：CD⊥平面PAD，根据PA⊥平面ABCDCD⊂平面ABC，可知PA⊥CD，又AD⊥CD，从而可证；
（Ⅱ）连接AC、EC，取AD中点O，连接EO，则EO∥PA，过O作OF⊥AC交AC于F，连接EF，则∠EFO就是二面角E-AC-D所成平面角，进而可求二面角E-AC-D所成平面角的余弦值；
（Ⅲ）利用VB-AEC=VE-ABC，可求B点到平面EAC的距离．
【解析】
（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCDCD⊂平面ABC∴PA⊥CD…（2分）
∵ABCD是矩形∴AD⊥CD
而PA∩AD=A∴CD⊥平面PAD…（4分）
CD⊂平面PDC∴平面PDC⊥平面PAD…（5分）
（Ⅱ）连接AC、EC，取AD中点O，连接EO，则EO∥PA，
∵PA⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，
过O作OF⊥AC交AC于F，连接EF，则∠EFO就是二面角E-AC-D所成平面角．…（7分）
由PA=2，则EO=1．
在Rt△ADC中，AD×CD=AC×h解得h=
因为O是AD的中点，所以…（8分）
而EO=1，由勾股定理可得…（9分）
…（10分）
（Ⅲ）连接BE，在三棱锥B-AEC中，
…（12分）
点E到底面BAC的距离EO=1，
则由VB-AEC=VE-ABC，即…（13分）
求得
所以B点到平面EAC的距离是．…（14分）