Question

已知函数f（x）=log_ax和g（x）=2log_a（2x+t-2），（a＞0，a≠1，t∈R）的图象在X=2处的切线互相平行．
（1）求T的值；
（2）设F（x）=g（x）-f（x），当x∈[1，4]时，F（x）≥2恒成立，求A的取值范围．

Answer

（I）由函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象在X=2处的切线平行，可用在该点处的导数相等解决；
（II）先抽象出F（x）=g（x）-f（x）=2loga（2x+4）-logax=，由当x∈[1，4]时，F（x）≥2恒成立，再求得函数F（x）的最小值即可．
【解析】
（I）∵（3分）
∵函数f（x）和g（x）的图象在X=2处的切线互相平行，
∴f'（2）=g'（2）（5分）
∴，
∴t=6（6分）
（II）∴F（x）=g（x）-f（x）=2loga（2x+4）-logax=
令 ∵
∴当1≤x＜2时，h′（x）＜0，
当2＜x≤4时，h′（x）＞0．h（x）在[1，2）是单调减函数，在（2，4]是单调增函数．（9分）
∴h（x）min=h（2）=32，∴h（x）max=h（1）=h（4）=36
∴当0＜a＜1时，有F（x）min=loga36，当a＞1时，有F（x）min=loga32．
∵当x∈[1，4]时，F（x）≥2恒成立，∴F（x）min≥2（10分）
∴满足条件的a的值满足下列不等式组 ；①，或 ②
不等式组①的解集为空集，解不等式组②得
综上所述，满足条件的 ．（12分）