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已知点H(-3,0),点P在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,点M在直线PQ上,且满足manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网
(Ⅰ)当点P在y轴上移动时,求点M的轨迹C;
(Ⅱ)过定点D(m,0)(m>0)作直线l交轨迹C于A、B两点,E是D点关于坐标原点O的对称点,求证:∠AED=∠BED;
(Ⅲ)在(Ⅱ)中,是否存在垂直于x轴的直线l'被以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在求出l'的方程;若不存在,请说明理由.

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(I)设M(x,y),P(0,y'),Q(x',0)则可得 ,,由 代入整理可求点M的轨迹C; (II)要证明∠AED=∠BED,根据直线的倾斜角与斜率的关系,只要证KAE=-KBE即可;分两种情况讨论:(1)当直线l垂直于x轴时,根据抛物线的对称性,有∠AED=∠BED;(2)当直线l与x轴不垂直时,利用直线的斜率进行转换即得; (III)假设存在满足条件的直线,根据垂径定理得性质可知,要使弦长为定值,则只要圆心到直线的距离为定值即可. 【解析】 (Ⅰ)设M(x,y),P(0,y'),Q(x',0)(x'>0)∵,. ∴且(3,y')•(x,y-y')=0…(2分) ∴.…(3分)∴y2=4x(x>0)…(4分) ∴动点M的轨迹C是以O(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线(除去原点).…(5分) (Ⅱ):(1)当直线l垂直于x轴时,根据抛物线的对称性,有∠AED=∠BED;…(6分) (2)当直线l与x轴不垂直时,依题意,可设直线l的方程为y=k(x-m)(k≠0,m>0),A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点的坐标满足方程组 消去x并整理,得ky2-4y-4km=0∴…(7分) 设直线AE和BE的斜率分别为k1、k2,则k1+k2=====…(9分) ∴tan∠AED+tan(180°-∠BED)=0∴tan∠AED=tan∠BED∵, ∴∠AED=∠BED.综合(1)、(2)可知∠AED=∠BED.…(10分) (Ⅲ)假设存在满足条件的直线l',其方程为x=a,AD的中点为O',l'与AD为直径的圆相交于点F、G,FG的中点为H,则O'H⊥FG,O'点的坐标为. ∵=, ∴|FH|2=|O'F|2-|O'H|2==(a-m+1)x1+a(m-a)…(12分) ∴|FG|2=(2|FH|)2=4[(a-m+1)x1+a(m-a)] 令a-m+1=0,得a=m-1 此时,|FG|2=4(m-1) ∴当m-1>0,即m>1时,(定值) ∴当m>1时,满足条件的直线l'存在,其方程为x=m-1;当0<m≤1时,满足条件的直线l'不存在.…(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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