Question

在平面直角坐标系xOy中，过定点C（2，0）作直线与抛物线y²=4x相交于A，B两点，如图，设动点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
（1）求证：y₁y₂为定值；
（2）若点D是点C关于坐标原点O的对称点，求△ADB面积的最小值；
（3）求证：直线l：x=1被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值．

Answer

（1）分情况讨论：当直线AB垂直于x轴时，计算得y1y2=-8；当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为：y=k（x-2），代入抛物线方程得到关于y的一元二次方程，因此有y1y2=-8为定值．
（2）依题意可知点D的坐标，可由A（x1，y1），B（x2，y2），设出直线AB的方程，与抛物线联立消去x，根据韦达定理求得y1+y2和的y1y2表达式，代入三角形面积公式中求得直线AB垂直于x轴时△ADB面积的最小值．
（3）先求出AC中点及，从而得出以AC为直径的圆的半径的表达式，最后计算得到所截弦长为定值．
【解析】
（1）当直线AB垂直于x轴时，，因此y1y2=-8（定值）（2分）
当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为：y=k（x-2），
由得ky2-4y-8k=0，∴y1y2=-8．
因此有y1y2=-8为定值．…（6分）
（2）D（-2，0），∴DC=4.．…..…（7分）
当直线AB垂直于x轴时，．；…（8分）
当直线AB不垂直于x轴时，由（1）知  ，因此，∴．…．（11分）
综上，△ADB面积的最小值为．…．…..（12分）
（3）AC中点，…．…．（13分），因此以AC为直径的圆的半径，…..…..（15分）AC中点E到直线x=1的距离，…．（16分）∴所截弦长为：（定值）．…..…（18分）