Question

已知函数f（x）=ax+b，当x∈[a₁，b₁]时，值域为[a₂，b₂]，当x∈[a₂，b₂]时，值域为[a₃，b₃]，…当x∈[a_n-1，b_n-1]时，值域为[a_n，b_n]，…其中a，b为常数，a₁=0，b₁=1．
（1）若a=1，求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）若a＞0，a≠1，要使数列{b_n}是公比不为1的等比数列，求b的值；并求此时[a₁，b₁]∪[a₂，b₂]∪…∪[a_n，b_n]；
（3）若a＞0，设数列{a_n}与{b_n}的前n项和分别为S_n和T_n，求（T₁+T₂+…+T₂₀₀₈）-（S₁+S₂+…+S₂₀₀₈）的值．

Answer

（1）当a=1时，数列{an}与{bn}的都是公差为b的等差数列，根据a1=0，b1=1可求出数列的通项公式；
（2）要使数列{bn}是公比不为1的等比数列则为常数，从而求出b，然后求出数列的通项公式，讨论a与1的大小可求出此时[a1，b1]∪[a2，b2]∪…∪[an，bn]；
（3）可先证{bn-an}成等比数列，然后求出其通项公式，讨论a是否为1，再根据等差数列与等比数列分组求出前n项和即可．
【解析】
（1）a=1时，f（x）=x+b单调递增，因此…..…．（3分）∴an=（n-1）b，bn=1+（n-1）b．…．（5分）
（2）∵a＞0，∴f（x）递增，∴bn=abn-1+b，∵，由条件为常数，∴b=0，…．（7分）
这时{bn}是公比为a的等比数列，bn=an-1，∵b=0，an=aan-1，而a1=0，∴an=0．∴[a1，b1]∪[a2，b2]∪…∪[an，bn]=[0，1]∪[0，a]∪…∪[0，an-1]，…..（9分）
当0＜a＜1时，上式=[0，1]；…．…．（10分）
当a＞1时，上式=[0，an-1]．…．（11分）
（3）当a＞0时，an=a•an-1+b，bn=a•bn-1+b，∴bn-an=a（bn-1-an-1），∴{bn-an}成等比数列，b1-a1=1，∴bn-an=an-1．…．（13分）
当a=1时，bn-an=1，∴Tn-Sn=n，∴原式=1+2+…+2008=1004×2009=2017036．…．（15分）
当a≠1时，，…..（16分）∴原式=．…．（18分）