Question

已知a，b为正实数．
（1）若函数，求f（x）的单调区间
（2）若e＜a＜b（e为自然对数的底），求证：a^b＞b^a；（3）求满足a^b=b^a（a≠b）的所有正整数a，b的值．

Answer

（1）先求函数的导函数，再解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得函数的单调区间
（2）利用（1）的结论，若e＜a＜b，则f（a）＞f（b），即，即lnab＞lnba，再由函数y=lnx的单调性即可得证
（3）利用（1）的结论当x∈（0，e）时，f（x）为增函数，当x∈（e，+∞）时，f（x）为减函数，若ab=ba（a≠b），则a、b一定分布在e的两边，通过列举求值可得正整数a，b的值
【解析】
（1）∵，则，
当0＜x＜e时，f′（x）＞0；当x＞e时，f′（x）＜0．
∴当x∈（0，e）时，f（x）为增函数，当x∈（e，+∞）时，f（x）为减函数．
（2）由上知，若e＜a＜b，f（a）＞f（b），得：，∴blna＞alnb，即lnab＞lnba，∴ab＞ba；
（3）由ab=ba得：．
∵当x∈（0，e）时，f（x）为增函数，当x∈（e，+∞）时，f（x）为减函数，∴…，
发现，
∴a=4，b=2或a=2，b=4．