Question

已知数列{a_n}中，a=2，a₁=3，a₂=6，且对n≥3时，有a_n=（n+4）a_n-1-4na_n-2+（4n-8）a_n-3．
（Ⅰ）设数列{b_n}满足b_n=a_n-na_n-1，n∈N^*，证明数列{b_n+1-2b_n}为等比数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记n×（n-1）×…×2×1=n!，求数列{na_n}的前n项和S_n．

Answer

（Ⅰ）由条件，得an-nan-1=4[an-1-（n-1）an-2]-4[an-2-（n-2）an-3]，进而再写一式an+1-（n+1）an=4[an-nan-1]-4[an-1-（n-1）an-2]．代入化简得bn+1=4bn-4bn-1．构建数列{bn+1-2bn}，从而可证明其是首项为-2，公比为2的等比数列．由此可求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）易得nan=n•n•（n-1）•…•2•1+n2n=（n+1）!-n!+n•2n，从而Sn=（2!-1!）+（3!-2!）+…+（n+1）!-n!+（1×2+2×22+…+n×2n），同乘公比，错位相减可求．
【解析】
（Ⅰ） 证明：由条件，得an-nan-1=4[an-1-（n-1）an-2]-4[an-2-（n-2）an-3]，
则an+1-（n+1）an=4[an-nan-1]-4[an-1-（n-1）an-2]．…2分
即bn+1=4bn-4bn-1．又b1=1，b2=0，所以bn+1-2bn=2（bn-2bn-1），b2-2b1=-2≠0．
所以{bn+1-2bn}是首项为-2，公比为2的等比数列． …4分b2-2b1=-2，所以bn+1-2bn=2n-1（b2-2b1）=-2n．
两边同除以2n+1，可得．…6分
于是为以首项，-为公差的等差数列．
所以．…8分
（Ⅱ）an-2n=nan-1-n2n-1=n（an-1-2n-1），令cn=an-2n，则cn=ncn-1．
而c1=1，∴cn=n（n-1）•…•2•1•c1=n（n-1）•…•2•1．
∴an=n（n-1）•…•2•1+2n． …12分nan=n•n•（n-1）•…•2•1+n2n=（n+1）!-n!+n•2n，
∴Sn=（2!-1!）+（3!-2!）+…+（n+1）!-n!+（1×2+2×22+…+n×2n）．…14分
令Tn=1×2+2×22+…+n×2n，①
则2Tn=1×22+2×23+…+（n-1）×2n+n×2n+1．②
①-②，得-Tn=2+22+…+2n-n×2n+1，Tn=（n-1）2n+1+2．
∴．…16分．