Question

某公司用300万元买回客船一艘，投入营运后，每月需开支燃油费、维修费、员工工资． 已知每月燃油费7000元，第n个月的维修费和工资支出为600（n-1）+3000元，如果把购船费和所有支出费用平摊到的每一个月，叫做每月平均消耗，当平均消耗最低时，营运成本最低．
（1）设月平均消耗y，写出y与n（月）的函数关系；
（2）投入营运几个月时，营运成本最低？
（3）若第一年纯收入50万，以后每年纯收入按5%递减，则多少年后可收回成本？

Answer

（1）先求出购船费和所有支出费的和，然后把购船费和所有支出费用平摊到的每一个月，可得月平均消耗y与n（月）的函数关系；
（2）利用基本不等式可得最值，从而求出此时n的值，从而求出所求；
（3）假设x年后可收回成本，则收入是首项为50，公比为0.95的等比数列，然后建立收入＞成本的不等式，解之即可求出所求．
【解析】
（1）购船费和所有支出费为300+0.7n+[0.3+0.3×0.06+0.3×2×0.06+…+0.3×（n-1）×0.06]=300+0.97n+0.03n2万元
∴
（2）≥2=6
当且仅当n=100时取等号
∴投入营运100个月时，营运成本最低．
（3）假设x年后可收回成本，则收入为50+50（1-5%）+50（1-5%）2+…50（1-5%）x-1=1000（1-0.95x）＞300
解得x=7时满足条件，x=6时不满足条件
故7年后可收回成本．