Question

在平面直角坐标系xOy中，过定点C（p，0）作直线与抛物线y²=2px（p＞0）相交于A，B两点，如图，设动点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
（Ⅰ）求证：y₁y₂为定值；
（Ⅱ）若点D是点C关于坐标原点O的对称点，求△ADB面积的最小值；
（Ⅲ）是否存在平行于y轴的定直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）分情况讨论：当直线AB垂直于x轴时，计算得y1y2=-2p2；当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为：y=k（x-p），代入抛物线方程得ky2-2py-2p2k=0，因此有y1y2=-2p2为定值．

（II）D（-p，0），DC=2p，，当AB⊥x轴时，=．当直线AB不垂直x轴时，，，由此能求出△ADB面积的最小值．
（III）设存在平行于y轴的直线l，方程为x=t，M（x1，y1），圆心为C（x，y），l被圆C截得的弦长为q，则由圆的几何性质可得 ==．由此能求出存在直线l，其方程为 ．
【解析】
（Ⅰ）当直线AB垂直于x轴时，y1=p，y2=-p，因此y1y2=-2p2
（定值）；…．（1分）
当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为：y=k（x-p），代入抛物线方程得；
ky2-2py-2p2k=0
因此有y1y2=-2p2为定值．…（4分）
（Ⅱ）D（-p，0），∴DC=2p，
，
当AB⊥x轴时，=．
当直线AB不垂直x轴时，
，
∴
=，
∴，
综上所述，△ADB面积的最小值是．
（III）设存在平行于y轴的直线l，方程为x=t，M（x1，y1），圆心为C（x，y）
l被圆C截得的弦长为q，则由圆的几何性质可得：
==
当 时，q=p为定值
故存在这样的直线l，其方程为 （12分）