Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和s_n满足s₁＞1，且6s_n=（a_n+1）（a_n+2）（n为正整数）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足，求T_n=b₁+b₂+…+b_n；
（3）设，问是否存在正整数N，使得n＞N时恒有C_n＞2008成立？若存在，请求出所有N的范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）n=1时，6a1=a12+3a1+2，且a1＞1，解得a1=2．n≥2时，6Sn=an2+3an+2，6Sn-1=an-12+3an-1+2，两式相减得（an+an-1）（an-an-1-3）=0由此能求出an．
（2），Tn=b1+b2+…+bn．再进行分类讨论能求出Tn．
（3），由此能够导出，因此不存在满足条件的正整数N．
【解析】
（1）n=1时，6a1=a12+3a1+2，且a1＞1，解得a1=2．…..（2分）
n≥2时，6Sn=an2+3an+2，6Sn-1=an-12+3an-1+2，
两式相减得：6an=an2-an-12+3an-3an-1
即（an+an-1）（an-an-1-3）=0，
∵an+an-1＞0，
∴an-an-1=3，
∴{an}为等差数列，an=3n-1．…．（6分）
（2），Tn=b1+b2+…+bn．…..（7分）
当n为偶数时，
Tn=（b1+b3+…+bn-1）+（b2+b4+…+bn）
=，…．（9分）
当n为奇数时，Tn=（b1+b3+…+bn）+（b2+b4+…+bn-1）
=．…（11分）∴…..（12分）
（3），…..（14分）
当n为奇数时，，…（15分）
∴Cn+2＜Cn，
∴{Cn}递减，…..（16分）
，…..（17分）
因此不存在满足条件的正整数N．…..（18分）