Question

某农产品去年各季度的市场价格如下表：

季 度	第一季度	第二季度	第三季度	第四季度
每吨售价（单位：元）	191.5	207.5	202.5	198.5

今年某公司计划按去年市场价格的“平衡价m”（平衡价m是这样的一个量：m与去年各季度售价差的平方和最小）收购该种农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），预测可收购a万吨．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
（1）估算m的值（元/吨），并用所学数学知识说明你获得结果的依据；
（2）写出税收y（万元）与x的函数关系式；
（3）若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的74.2%，试确定x的取值范围．

Answer

（1）根据平衡价的定义：m与去年各季度售价差的平方和最小，即使（m-195.5）2+（m-200.5）2+（m-204.5）2+（m-199.5）2最小，展开后配方可得，m取四个季度的市场价格的平均数即可；
（2）先写出降低税率后的税率及农产品的收购量、收购总金额，从而进一步写出故税收y（万元）与x的函数关系式即得；
（3）依题意得出关于x的一元二次不等式，再解此二次不等式即可得x的取值范围．从而问题解决．
【解析】
（1）根据平衡价的定义有：
∴m=200
由上可知，m取四个季度的市场价格的平均数时，m与去年各季度售价差的平方和最小．
（2）降低税率后的税率为（10-x）%，
农产品的收购量为a（1+2x%）万吨，
收购总金额为200a（1+2x%）
故y=200a（1+2x%）（10-x）%=20010000a（100+2x）（10-x）
=150a（100+2x）（10-x）（0＜x＜10）（0≤x≤10）
（3）200×a（1+2x%）（10-x）%≥200×a×10%×74.2%
所以0≤x≤3