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如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC的边长为2a,侧棱AA1=...

如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC的边长为2a,侧棱AA1=2a,M、N分别为AA1、BC中点
(1)求证:MN⊥B1C1
(2)求二面角B1-MN-C1的余弦值.

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(1)先证明MN在平面ABC上的射影为AN,再证明AN与BC垂直,从而由三垂线定理可证明MN与BC垂直,最后因为BC∥B1C1知MN⊥B1C1,也可用计算的方法,连接BM、MC,由勾股定理易得BM=CM,从而MN⊥BC,即可证MN⊥B1C (2)先作出二面角的平面角,即取MN中点Q,可证明∠B1QC1是二面角B1-MN-C1的平面角,再在三角形B1C1Q中计算∠B1QC1的余弦值即可 【解析】 (1)法一:连接AN. ∵ABC-A1B1C1是正三棱柱 ∴AA1⊥平面ABC,且AB=AC ∴AN为MN在面ABC上的射影 又N为BC的中点,且AB=AC ∴AN⊥BC 由三垂线定理知MN⊥BC 又BC∥B1C1知MN⊥B1C1 法二:连接BM、MC, 由勾股定理易得BM=CM,从而MN⊥BC,即可证MN⊥B1C1  (2)取MN的中点Q,连接C1Q、B1Q ∵B1M=B1N,C1M=C1Q ∴B1Q⊥MN,C1Q⊥MN ∴∠B1QC1是二面角B1-MN-C1的平面角 又MN==2a 则B1Q=Q ∴△B1C1Q为正三角形, ∴∠B1QC1=60° 故二面角B1-MN-C1的余弦值为.
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考点分析:
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