(1)先证明MN在平面ABC上的射影为AN,再证明AN与BC垂直,从而由三垂线定理可证明MN与BC垂直,最后因为BC∥B1C1知MN⊥B1C1,也可用计算的方法,连接BM、MC,由勾股定理易得BM=CM,从而MN⊥BC,即可证MN⊥B1C
(2)先作出二面角的平面角,即取MN中点Q,可证明∠B1QC1是二面角B1-MN-C1的平面角,再在三角形B1C1Q中计算∠B1QC1的余弦值即可
【解析】
(1)法一:连接AN.
∵ABC-A1B1C1是正三棱柱
∴AA1⊥平面ABC,且AB=AC
∴AN为MN在面ABC上的射影
又N为BC的中点,且AB=AC
∴AN⊥BC
由三垂线定理知MN⊥BC
又BC∥B1C1知MN⊥B1C1
法二:连接BM、MC,
由勾股定理易得BM=CM,从而MN⊥BC,即可证MN⊥B1C1
(2)取MN的中点Q,连接C1Q、B1Q
∵B1M=B1N,C1M=C1Q
∴B1Q⊥MN,C1Q⊥MN
∴∠B1QC1是二面角B1-MN-C1的平面角
又MN==2a
则B1Q=Q
∴△B1C1Q为正三角形,
∴∠B1QC1=60°
故二面角B1-MN-C1的余弦值为.