Question

已知函数f（x）=2x³+3（1-2a）x²+6a（a-1）x（a∈R）
（1）求y=f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）=0有且仅有一个实数根，求实数a的取值范围；
（3）是否存在这样的常数，使得直线y=1与y=f（x）相切，如果存在，求出a，否则请说明理由．

Answer

（1）先求函数的定义域，然后对函数求导可得f'（x）=6x2+6（1-2a）x+6a（a-1），分别令f′（x）＞0f′（x）＜0可求函数的单调增区间，单调减区间；
（2）由于f（x）=x[2x2+3（1-2a）x+6a（a-1）]，所以关于x的方程f（x）=0有且仅有一个实数根等价于，对于关于x的二次方程2x2+3（1-2a）x+6a（a-1）=0无实根或仅有零根，因为方程没有零根，所以二次方程2x2+3（1-2a）x+6a（a-1）=0无实根，所以判别式＜0，故可求a的范围；
（3）假设y=1与y=f（x）相切于点（x，y），则函数在极值点处与y=1相切，从而分类讨论：x=a及x=a-1，由此可得方程，故可求符合条件的a值．
【解析】
（1）由f（x）=2x3+3（1-2a）x+6a（a-1）x求导数得到f'（x）=6x2+6（1-2a）x+6a（a-1）
=6（x-a）（x-a+1）
∴y=f（x）在（-∞，a-1]上为增函数；
在[a-1，a]上为减函数；在[a，+∞）上为增函数．…（4分）
（2）由f（x）=x[2x2+3（1-2a）x+6a（a-1）]
对于关于x的二次方程2x2+3（1-2a）x+6a（a-1）=0无实根或仅有零根，仅有零根不可能则判别式△=[3（1-2a）]2-4•2•6a（a-1）
=3（-2a+3）（2a+1）＜0
∴
故所求a的范围为…（8分）
（3）设y=1与y=f（x）相切于点（x，y）
在x=a时，则2a3+3（1-2a）a2+6a2（a-1）=1
∴．
∴2a3-3a2=1不可能成立．
在x=a-1时，则2（a-1）3+3（1-2a）（a-1）2+6a（a-1）2=1
．
因此所求符合条件的a值分别为．…（13分）