Question

函数y=|cos2x|+|cosx|的值域为（ ）
A．[，2]
B．[，2]
C．[，]
D．[，2]

Answer

把函数解析式第一个绝对值里边的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，设|cosx|=t，把函数解析式化为关于t的关系式，分两种情况讨论绝对值里边式子的正负来化简绝对值，当≤t≤1时，根据正数的绝对值等于它本身化简函数解析式，配方后，得到此时函数单调递增，求出此时函数的最大值及最小值，得到y的范围；当0≤t≤时，根据负数的绝对值等于它的相反数化简函数解析式，配方后，根据t的范围，利用二次函数的性质求出函数的最大值及最小值，得到y的范围，综上，求出y的两范围的并集即可得到原函数的值域．
【解析】
函数y=|cos2x|+|cosx|=|2cos2x-1|+|cosx|
设|cosx|=t≥0，则函数y=|2t2-1|+t，
（i）当≤t≤1时，2t2-1≥0，
∴函数y=|2t2-1|+t=y=2t2+t-1=2（t+）2-，
当≤t≤1时，函数单调递增，
此时当t=时，函数取得最小值，当t=1时，函数取得最大值2，
∴≤y≤2；
（ii）当0≤t≤时，2t2-1≤0，
∴函数y=|2t2-1|+t=y=-2t2+t+1=-2（t-）2+，
此时当t=时，函数取得最大值，当t=时，函数取得最小值，
∴≤y≤，
综上，函数y=|cos2x|+|cosx|的值域为[，2]．
故选B