Question

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中 AB=BC=2，∠ABC=120°，又顶点A₁在底面ABC上的射影落在AC上，侧棱AA₁与底面成60°的角，D为AC的中点．
（1）求证：AA₁⊥BD；
（2）若面A₁DB⊥面DC₁B，求侧棱AA₁之长．

Answer

（1）要证线线垂直，关键是证明线面垂直，利用面面垂直可得线面垂直，故可证；
（2）由于面A1DB⊥面DC1B，△ABC是等腰三角形，D为底边AC上中点，可知∠A1DC1是二面角A1-OB-C1的平面角为Rt∠，再将平面A1ACC1放在平面坐标系中，可求．
证明：（1）在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，因为A1在底面ABC上射影落在AC上，则平面A1ACC1经过底面ABC的垂线 
故侧面A1C⊥面ABC．
又 BD为等腰△ABC底边AC上中线，则BD⊥AC，从而BD⊥面AC．
∴BD⊥面A1C 
又AA1⊂面A1C，∴AA1⊥BD
（2）【解析】
在底面ABC，△ABC是等腰三角形，D为底边AC上中点，故DB⊥AC，又面ABC⊥面A1C
∴DB⊥面A1C，则DB⊥DA1，DB⊥DC1，则∠A1DC1是二面角A1-OB-C1的平面角
∵面A1DB⊥面DC1B，则∠A1DC1=Rt∠，将平面A1ACC1放在平面坐标系中（如图），

∵侧棱AA1和底面成60°，
设A1A=a，则A1=（，a），C1（+2，a）  A（0，0），C（2，0），AC中点D（，0），
由知：（-，a）•（+，a）=0，∴a2=3，a=
故所求侧棱AA1长为