Question

如图，直线l：y=（x-2）和双曲线C：-=1 （a＞0，b＞0）交于A、B两点，|AB|=，又l关于直线l₁：y=x对称的直线l₂与x轴平行．
（1）求双曲线C的离心率；（2）求双曲线C的方程．

Answer

（1）先设双曲线一、三象限渐近线l1：-=0 的倾 斜角为α，根据l和l2关于直线l1对称，又AB：y=（x-2），得出tan2α=  利用二倍角公式求得tanα，从而建立关于a，c的相等关系，最后求得双曲线C的离心率；
（2）设所求双曲线的方程，将直线的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得k值，从而解决问题．
【解析】
（1）设双曲线一、三象限渐近线l1：-=0 的倾 斜角为α
∵l和l2关于直线l1对称，记它们的交点为P．而l2与x轴平行，
记l2与y轴交点为Q 依题意有∠QPO=∠POM=∠OPM=α（锐角）又AB：y=（x-2），
故tan2α=  则 =，求得tanα=，tanα=-2（舍）
∴=，e2==1+（）2=，因此双曲线C的离心率 ．
（2）∵=，故设所求双曲线方程 -=1 
将 y=（x-2），代入 x2-4y2=4k2，
消去y得：x2-x++k2=0  设A（x1，y1），B（x2，y2）
|AB|=|x1-x2|=•=，
化简得到：=，求得k2=1．
故所求双曲线C的方程为：-y2=1