Question

已知数列{a_n}的前n项之和S_n与a_n满足关系式：nS_n+1=（n+2）S_n+a_n+2 （n∈N₊）
（1）若a₁=0，求a₂，a₃的值；（2）求证：a₁=0是数列{a_n}为等差数列的充要条件．

Answer

（1）在数列中，Sn与an满足n=1时，S1=a1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1，所以当a1=0时，根据nSn+1=（n+2）Sn+an+2 （n∈N+），令n=1，可求出S2，再根据S2=a1+a2，求出a2，a3，求法类似，这样九可求出a2，a3的值．
（2）要证a1=0是数列{an}为等差数列的充要条件，必须证明该条件即是充分条件，又是必要条件，也即证明当a1=0时，证明数列{an}为等差数列，当数列{an}为等差数列，证明a1=0．证明充分性时，用数学归纳法来证，步骤，先验证n取第一个数时，命题成立，再假设n=k时，命题成立，根据已知和假设证明n=k+1时，命题成立．证明必要性时，由当n≥2时，an=Sn-Sn-1，找到数列的递推公式，再根据数列{an}为等差数列，an-an-1=d（n≥2），且an=a1+（n-1）d，代入递推公式，化简，即可求出a1=0．
【解析】
（1）由 nSn+1=（n+2）Sn+an+2  （*）
变形为n（Sn+1-Sn）=2Sn+an+2，而Sn是{an}前n项和，于是有nan+1=2Sn+an+2，a1=0，
在n=1，a2=2a1+a1+2=2，则a2=2，在n=2，2a3=2（a1+a2）+a2+2=4+4=8，则a3=4
（2）充分性：由（1）可猜测到：an=2n-2．下面先用数学归纳法证明：an=2n-2
①在n=1时，a1=2×1-2=0 与已知 a1=0一致 故n=1时，an=2n-2成立．
②假设n=k时，an=2n-2成立，
∴Sk=a1+a2+…+ak=0+2+4+…+（2k-1）=k（k-1）
∵（*）式 nan+1=2Sn+an+2恒成立，则kan+1=2Sk+ak+2=2k（k-1）+（2k-2）+2=2k2
∴ak+1=2k=2[（k+1）-1]
故n=k+1时，an=2n-2成立，综合①②可知：an=2n-2成立对n∈N*恒成立．
∴数列{an}的通项为an=2n-1，∴an-an-1=2（n≥2，n∈N+）
由等差数列定义可知{an}是等差数列，从而充分性得证．
必要性：由（1）可知 nan+1=2Sn+an+2恒成立，则（n-1）an=2Sn-1+an-1+2（n≥2）（**）
若{an}是等差数列，则an-an-1=d（n≥2），且an=a1+（n-1）d．代入（**） 式中有：
n（an+1-an）=2an-an-1∴nd=an+d=a1+（n-1）d+d∴a1=0 从而必要性得证．
因此a1=0 是数列{an}为等差数列的充分条件．