Question

已知抛物线（a为实常数）．
（1）求所有抛物线p_a的公共点坐标；
（2）当实数a取遍一切实数时，求抛物线p_a的焦点方程．
【理】（3）是否存在一条以y轴为对称轴，且过点（-1，-1）的开口向下的抛物线，使它与某个p_a只有一个公共点？若存在，求出所有这样的a；若不存在，说明理由．
【文】（3）是否存在直线y=kx+b（k，b为实常数），使它与所有的抛物线p_a都有公共点？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，说明理由．

Answer

（1）当a取不同实数时，y=x2+ax+a-2，y=x2+bx+b-2，整理可得（a-b）x=b-a，从而可求
（2）由y=x2+ax+a-2可得，，从而可得抛物线的焦点为：（，）
（3）例如可设抛物线方程为x2=-2py（p＞0）
由抛物线过点（-1，-1）可得，此时抛物线方程为x2=-y，联立方程整理可得2x2+ax+（a-2）=0课检验
（4）由于Pa：y=x2+ax+a-2恒过定点（-1，-1），则只要直线y=kx+b过定点（-1，-1）即可
【解析】
（1）当a取不同实数时，y=x2+ax+a-2，y=x2+bx+b-2
可得x2+ax+a-2=x2+bx+b-2
∴（a-b）x=b-a，x=-1代入可得，y=-1
当a取不同实数时，所有抛物线pa的公共点坐标（-1，-1）
（2）由y=x2+ax+a-2可得，
∴抛物线的焦点为：（，）
（3）在满足条件的抛物线例如可设抛物线方程为x2=-2py（p＞0）
由抛物线过点（-1，-1）可得，此时抛物线方程为x2=-y
联立方程整理可得2x2+ax+（a-2）=0
若a=4时，此时△=a2-8a+16=（a-4）2=0
即x2=-y与P4：y=x2+4x+2只有一个公共点
（4）由于Pa：y=x2+ax+a-2恒过定点（-1，-1）
则只要直线y=kx+b过定点（-1，-1）即可
此时b=k-1，y=kx+k-1即y+1=k（x+1）满足条件
故存在这样的直线