Question

已知函数y=f（x）的定义域为R⁺，对任意x，y∈R⁺，有恒等式f（xy）=f（x）+f（y）；且当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（1）的值；
（2）求证：当x∈R⁺时，恒有；
（3）求证：f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（4）由上一小题知：f（x）是（0，+∞）上的减函数，因而f（x）的反函数f^-1（x）存在，试根据已知恒等式猜想f^-1（x）具有的性质，并给出证明．

Answer

（1）令x=y=1，代入恒等式f（xy）=f（x）+f（y）即可
（2）令y=，则f（1）=f（x）+f（），由（1）即可得结论
（3）设任意x，y∈R+，且x＜y，利用函数单调性定义和已知当x＞1时，f（x）＜0，即可证明f（x）在（0，+∞）上为减函数
（4）利用互为反函数的函数图象的对称性，即可得反函数的性质
【解析】
（1）令x=y=1，则f（1）=2f（1），∴f（1）=0
（2）证明：令y=，则f（1）=f（x）+f（），∴
（3）证明：设任意x，y∈R+，且x＜y，=a＞1
则f（x）-f（y）=f（x）-f（x•a）=f（x）-f（x）-f（a）=-f（a）
∵当x＞1时，f（x）＜0
∴f（a）＜0，-f（a）＞0
∴f（x）＞f（y）
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数
（4）猜想f-1（x）具有的性质，f-1（0）=1
证明：因为原函数与反函数关于直线y=x对称，
∵f（1）=0
∴f-1（0）=1