Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，BC=CC₁=a，AC=2a，
（1）求多面体B₁-AA₁C₁C的体积；
（2）求异面直线AB₁与CC₁所成角的大小．

Answer

（1）由图可知 所求的四棱锥的体积等于原三棱柱的体积减去三棱锥B1-ABC的体积，根据得B1B⊥平面ABC，可得B1B是三棱锥B1-ABC的高，从而求出三棱锥B1-ABC的体积．
（2）由条件得四边形CBB1C1为正方形，故 BB1 ∥C1C，∠AB1B 为异面直线AB1与CC1所成角，Rt△AB1B 中，由边角关系求出tan∠AB1B 的值，从而求得∠AB1B 的值．
【解析】
（1）由图可知，，
由条件得B1B⊥平面ABC，
∴，，
因此 ．
（2）由条件得四边形CBB1C1为正方形，∴BB1 ∥C1C，
∴∠AB1B 为异面直线AB1与CC1所成角．
Rt△AB1B 中，BB1 =a，AB== a，
tan∠AB1B===，∠AB1B=arctan．
即异面直线AB1与CC1所成角为arctan．