Question

设，其中a_ik（1≤i≤n，1≤k≤n）表示该数阵中位于第i行第k列的数，已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且a₂₃=8，a₃₄=20．
（1）求a₁₁和a_ik；
（2）设数阵第i行的公差为d_i（i=1，2，…，n），f（n）=d₁+d₂+…+d_n，求f（n）；
（3）设A_n=a_1n+a_2（n-1）+a_3（n-2）+…+a_n1，证明：当n是3的倍数时，A_n+n能被21整除．

Answer

（1）设第一行的公差为d，则a1k=a11+（k-1）d，aik=[a11+（k-1）d]•2i-1，由a23=8，a34=20可知a11和d的值，从而得到aik的值．
（2）先求数阵第i行的公差为di，再表示出f（n）=d1+d2+…+dn，利用等比数列的求和公式可求；
（3）先表达出An=a1n+a2（n-1）+a3（n-2）+…+an1，再用错位相减法求和，从而可以证明当n是3的倍数时，An+n能被21整除．
【解析】
（1）因为每一列的数是公比为2的等比数列，a23=8，a34=20，所以a13=4，a14=5，（2分）
故第一行的公差为d1=1．∴a11=2，（3分）
a1k=k+1，（4分）
因此aik=（k+1）•2i-1．           （5分）
（2）di=ai（k+1）-aik=（k+2）•2i-1-（k+1）•2i-1=2i-1（8分）
∴（10分）
（3）An=（n+1）+n•2+（n-1）•22+…+2•2n-1，（11分）
2•An=（n+1）•2+n•22+…+3•2n-1+2•2n
上面两式相减得：An=-（n+1）+2+22+…+2n-1+2•2n（13分）
=∴An+n=3（2n-1）（14分）
当n=3k，（k∈N*）时An+n=3（8k-1）=3[（7+1）k-1]=3（Ck7k+…+Ckk-17）=21（Ck7k-1+…+Ckk-1），（17分）
因为Ck7k-1+…+Ckk-1为整数，所以An+n能被21整除．（18分）