Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2．
（1）证明AD⊥PB；
（2）求二面角P-BD-A的正切值大小．

Answer

（1）通过已知PA=2，PD=2得到勾股定理，根据线面垂直即可证明线线垂直．
（2）通过把二面角转化为其平面角PEH，然后在RT△PHE中，求出其正切值即可．
（1）证明：在△PAD中，
由题设PA=2，PD=2
可得PA2+AD2=PD2，于是AD⊥PA．
在矩形ABCD中，AD⊥AB．
又PA∩AB=A，
所以AD⊥平面PAB．
PB⊂面PAB，所以AD⊥PB
（2）【解析】
过点P做PH⊥AB于H，
过点H做HE⊥BD于E，连接PE
因为AD⊥平面PAB，PH⊂平面PAB，
所以AD⊥PH．
又AD∩AB=A，
因而PH⊥平面ABCD，故HE为PE在平面ABCD内的射影．所以，BD⊥PE，
从而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角．
由题设可得，PH=PA•sin60°=，AH=PA•cos60°=1，BH=AB-AH=2，BD=，
于是在RT△PHE中，tanPEH=，
所以二面角P-BD-A的正切值大小为．