Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N^*，点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上．
（1）计算a₁，a₂，a₃，并归纳出数列{a_n}的通项公式；
（2）将数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇，a₈，a₉，a₁₀）；（a₁₁），（a₁₂，a₁₃），（a₁₄，a₁₅，a₁₆），（a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀）；（a₂₁）…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
（3）设A_n为数列的前n项积，若不等式A_n＜f（a）-对一切n∈N^*都成立，求a的取值范围．

Answer

（1）由已知可得，即．分别令n=1，n=2，n=3，代入可求a1，a2，a3，进而猜想an
（2）由an=2n可得数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故 b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数，所有第2个数、所有第3个数、所有第4个所有第4个数分别组成都是等差数列，公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．代入可求
（3）因为，，若成立
设，则只需即可利用g（n）的单调性可求其最大值
，从而可求a的范围
【解析】
（1）因为点在函数的图象上，
故，所以．
令n=1，得，所以a1=2；
令n=2，得，所以a2=4；
令n=3，得，所以a3=6．
由此猜想：an=2n．
（2）因为an=2n（n∈N*），所以数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故 b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20．同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，
所以 b100=68+24×80=1988．又b5=22，所以b5+b100=2010
（3）因为，故，
所以．
又，
故对一切n∈N*都成立，就是对一切n∈N*都成立．
设，则只需即可．
由于=，
所以g（n+1）＜g（n），故g（n）是单调递减，于是．
令，即 ，解得，或．
综上所述，使得所给不等式对一切n∈N*都成立的实数a的取值范围是．