Question

（文） 已知四边形OABC为直角梯形，∠AOC=∠OAB=90°，PO⊥平面AC，且OA=3，AB=6，OC=2，PO=3．
（1）求证：AB⊥PA；
（2）求异面直线PB与OA所成的角θ（用反三角函数值表示）．

Answer

（1）以O的坐标原点，OA，OC，OP方向分别为x，y，z轴正方向建立空间坐标系，分别求出AB与PA的方向向量的坐标，根据两向量的数量积为0，即可判断出AB⊥PA；
（2）分别求出异面直线PB与OA的方向向量的坐标，代入向量夹角公式，求出θ的余弦值，进而得到异面直线PB与OA所成的角θ．
证明：（1）以O的坐标原点，OA，OC，OP方向分别为x，y，z轴正方向建立空间坐标系
∵OA=3，AB=6，OC=2，PO=3
∴A（3，0，0），B（3，6，0），P（0，0，3）
∴=（0，6，0），=（3，0，-3）
∵•=0
∴⊥
即AB⊥PA；
【解析】
（2）∵=（3，6，-3），=（3，0，0），
则异面直线PB与OA所成的角θ满足
cosθ===
∴．