Question

在△ABC中，已知∠A=45°，∠B=75°，点D在AB上，且CD=10．
（1）若点D与点A重合，试求线段AB的长；
（2）在下列各题中，任选一题，并写出计算过程，求出结果．
①（解答本题，最多可得6分）若CD⊥AB，求线段AB的长；
②（解答本题，最多可得8分）若CD平分∠ACB，求线段AB的长；
③（解答本题，最多可得10分）若点D为线段AB的中点，求线段AB的长．

Answer

（1）先由A和B的度数求出C的度数，若点D与点A重合，DC即为AC的长，故由AC，sinB及sinC的值，利用正弦定理即可求出AB的长；
（2）若选①，由A和B的度数求出∠ACB的度数，根据CD与AB垂直，由A的度数求出∠ACD的度数，进而得到∠BCD的度数，在直角三角形ACD中，由CD的长及tan∠ACD的值，求出AD的长，在直角三角形BCD中，由tan∠BCD及CD的长，求出BD的长，利用AD+DB即可求出AB的长；
若选②，由A和B的度数求出∠ACB的度数，根据CD为角平分线，可得∠ACD=∠BCD=∠ACB，在三角形ACD中，由CD，sinA及sin∠ACD的值，利用正弦定理求出AD的长，同理在三角形BCD中，由CD，sinB及sin∠BCD的值，利用正弦定理求出BD的长，根据AD+DB=AB，即可求出AB的长；
若选③，延长CD到E，使ED=CD，连接AE及BE，由D为AB中点，根据对角线互相平方的四边形为平行四边形可得ACBE为平行四边形，得到两组对边相等，在三角形ACE中，根据余弦定理表示出CE2=AC2+AE2-2AC•AE•cos∠CAE，且由AE与CB平行，根据∠ACB的度数求出∠CAE的度数，BC=AE，同时根据正弦定理，用sinB，sin∠ACB及AB表示出AE积AC，代入表示出的式子中，得到关于AB的方程，求出方程的解得到AB的长．
【解析】
（1）∵∠A=45°，∠B=75°，
∴∠ACB=60°，又，
由正弦定理，得；
（2）根据题意画出相应的图形，如图所示：

若选①，如图①所示：
若CD⊥AB，∠ACD=∠ACB-∠BCD=60°-15°=45°，又∠A=45°，
∴∠ACD=∠A，
∴AD=CD=10，又∠BCD=15°，由，
得，
故；
若选②，如图②所示：
∵∠A=45°，∠B=75°，
∴∠ACB=60°，又CD为角平分线，
∴，；
若选③，根据正弦定理得：，
如图③所示：延长CD到E，使DE=CD，连接EA、EB，
由余弦定理可得CE2=AC2+AE2-2AC•AE•cos∠CAE，
又cos∠CAE=cos（π-∠ACB）=-cos∠ACB，BC=AE，
得（2CD）2+AB2=2AC2+2BC2，
即，
解得：．