Question

设M（k）是满足不等式log₂₅x+log₂₅（26×25^k-1-x）≥2k-1的正整数x的个数，记S=M（1）+M（2）+…+M（n）  n∈N．
（1）求S；
（2）设t=5ⁿ-²+5ⁿ⁺²+n-2  （n∈N），试比较S与t的大小．

Answer

（1）先将原不等式化简得x2-26•25k-1x+252k-1≤0，利用换元法解出x的范围，从而得出正整数x的个数M（k）=25k-25k-1+1 再利用等比数列的求和公式求得S=（251-25+1）+（252-251+1）+…+（25n-25n-1+1）即可；
（2）因S-t=（52n-，只要 5n＞25或5n＜，求得其等价的条件，从而得出S与t的大小与相应的n的值．
【解析】
（1）化简得   x2-26•25k-1x+252k-1≤0
∴25k-1≤x≤25k  …（3分）
∴M（k）=25k-25k-1+1  …（5分）
S=（251-25+1）+（252-251+1）+…+（25n-25n-1+1）=25n+n-1…（8分）
（2）要S-t=（52n-…（11分）
只要 5n＞25或5n＜
即：n＞2或n＜-2           …（13分）
∴当n＞2 时s＞t；当n=2时s=t； 当n=1时s＜t     …（16分）